Цитата: А договор с МУП, похоже вовсе не действителен. Он не подписан работодателем, без даты и печати.
Почему же, вполне действителен, если вы допущены к работе и выполняли свои обязанности в соответствии с этим договором.
Цитата: Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либосо дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателяили его уполномоченного на это представителя.
А то, что он не оформлен должным образом - это нарушение со стороны МУП, которое грозит штрафом по ст. 5.27 КоАП (пункт 4).
Цитата: В данном случае могут удержать с работника половину зарплаты за 5 месяцев с августа по декабрь 2019 года с муп?
Нет, не могут. Даже если считать, что зарплата выплачена вам излишне, что не соответствует действительности.
Цитата: Заработная плата, излишне выплаченная работнику (в том числе при неправильном применении трудового законодательства или иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права), не может быть с него взыскана, за исключением случаев:счетной ошибки;если органом по рассмотрению индивидуальных трудовых споров признана вина работника в невыполнении норм труда (часть третья статьи 155 настоящего Кодекса) или простое (часть третья статьи 157 настоящего Кодекса);если заработная плата была излишне выплачена работнику в связи с его неправомерными действиями, установленными судом.
Никаких виновных или неправомерных действий вы не совершали, удержание честно заработанной зарплаты незаконно.